正态曲线下面积

　　直方图是以直方的面积表示数量的。直方顶端连成曲线后，整个曲线下面积就表示总频数，用1或100%表示。一定区间曲线下面积就是出现在此区间的频数与总频数之比，或出现在该区间的各个变量的概率之和。例如以7岁男童102人为100%，则若要知道坐高在66至68cm间的人数占总人数的百分比，只要知道曲线下横坐标为66至68cm区间内的面积就可以了。因此求出曲线下面积有其实用意义。

　　曲线下某区间的面积，可根据曲线方程用积分求得，但若每次应用时都要用积分计算，那是很麻烦的。前人已将标准正态曲线下0至各u值的面积计算出来的了。由于各书列的方式不完全相同，所以使用时要注意表上的图示或说明，仍用7岁男童坐高资料为例说明正态曲线下面积表（附表2）的使用方法。该表左侧及上端为u值，表中数字为横轴自0至u曲线下的面积。

　　例5.1　根据表4.3的资料计算得坐高的X=66.72，S=2.08，试估计总体中坐高在

　　（1）66.72-68.80cm间。

　　（2）66～68cm间及（3）68～70cm间的人数各占总人数的百分比。

　　（1）求坐高在66.72～68.80cm 之间曲线下面积。

　　①求u（u=(X-μ)/σ，这里分别以X、S作为μ与σ的估计值）

　　（66.72-66.72）/2.08=0

　　（66.80-66.72）/2.80=1

　　标准正态曲线下面积见图5.3（a）。

　　②查附表2，u自0至1的面积，即查u=1.00，得α/2=0.3413。坐高在此区间内的人数占总人数的34.13%。

　　（2）求坐高在66～68cm之间曲线下面积。

　　①求u

　　(66-66.72)/2.08=-0.346

　　(68-66.72)/2.08=0.615

　　标准正态曲线下面积见图5.3(b)

　　②查附表2　u=0.346，得α/2=0.1353(经内插法求得，下同)

　　u=0.615，得α/2=0.2308

　　0.1353+0.2308=0.3661

　　坐高在此区间内的人数占总人数的36.61%，即102×0.3661=37.3人，与实际观察所得38人相近。

图5.3　正态曲线下面积之计算

　　（3）求坐高在68～70cm间的人数占总人数的百分比。

　　①求u

　　(68-66.72)/2.08=0.615

　　(70-66.72)/2.08=1.577

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